Variance du minage & Maths de Poisson

Un mineur installe un seul Antminer S21+ pointé vers Bitcoin Cash. Les maths disent que le temps attendu pour trouver un bloc est de ~133 jours. Le mineur attend 130 jours et ne trouve rien. Il attend 140 jours — toujours rien. Il consulte le tableau de bord à 150, 160, 180 jours — toujours pas de bloc. Les maths ont-elles échoué ? Le rig est-il cassé ? A-t-il choisi le mauvais pool ?

La réponse, presque toujours, n’est aucune de ces options. Les maths n’ont pas échoué. Le rig va bien. Le pool va bien. Le mineur est en train de vivre la variance — l’écart entre la valeur attendue à long terme et la réalité à court terme. Et dans le solo mining, cet écart peut être énorme. 1 mineur mono-rig sur 5 attendra plus de 1,5× son temps moyen avant de trouver un bloc. 1 sur 20 attendra plus de 3×. Ce ne sont pas des anomalies rares. Elles sont prédites par les maths.

Cet article existe parce que la plupart des conseils en solo mining évacuent le problème de la variance d’un revers de main. « Le temps moyen est de X jours » semble simple, comme un compte à rebours déterministe. Ce n’est pas le cas. Le solo mining est un processus de Poisson — sans mémoire, exponentiel, sujet à des résultats groupés — et comprendre les maths fait la différence entre penser que son matériel est cassé et reconnaître qu’on est dans la queue lente parfaitement normale de la distribution de probabilité.

Voici le guide mathématique du solo mining du hibou. Nous parcourrons les bases de Poisson, la distribution exponentielle qui régit le temps entre blocs, de vraies tables de percentiles pour le matériel courant, des simulations Monte Carlo, et un cadre clair pour la préparation émotionnelle. À la fin, « longues périodes sèches » ressemblera aux maths, pas à un échec.

La mise en place : pourquoi le minage est un processus de Poisson

Le minage hache un nombre à la fois, cherchant une valeur inférieure à la cible du réseau. Chaque hachage est statistiquement indépendant — l’algorithme SHA-256 rend le résultat du hachage précédent sans pertinence pour la tentative suivante. C’est la configuration classique d’un processus de Poisson.

Un processus de Poisson a trois propriétés définissantes :

1. Les événements se produisent indépendamment. Chaque hachage est une nouvelle tentative ; trouver (ou ne pas trouver) un bloc ne change pas la probabilité de la prochaine tentative.
2. Les événements se produisent à un taux moyen constant. La difficulté du réseau reste à peu près stable sur de courtes périodes (jours). Votre hashrate reste stable. Le taux attendu est donc constant.
3. La probabilité d’un événement dans un petit intervalle de temps est proportionnelle à sa durée. Deux fois plus de temps à miner, deux fois plus de probabilité de trouver un bloc.

Les trois sont satisfaits pour le solo mining. Les maths qui s’appliquent :

• Le nombre de blocs trouvés sur une période T suit une distribution de Poisson de paramètre λ = (votre_hashrate ÷ hashrate_réseau) × (T ÷ 600 secondes)
• Le temps entre blocs consécutifs suit une distribution exponentielle de moyenne = 1/λ
• La probabilité de trouver zéro bloc sur la période T est e^(-λT)
• L’écart-type des blocs attendus sur T est égal à √(λT) — la racine carrée de la moyenne

Ces trois formules constituent l’entière base mathématique de la variance du solo mining. Mémorisez-les et le reste n’est qu’application.

La moyenne : ce qu’elle signifie vraiment

Le « temps moyen pour trouver un bloc » est le chiffre le plus cité en solo mining et le plus mal compris. La moyenne n’est PAS ce à quoi vous devez vous attendre à attendre. C’est la moyenne à long terme sur de nombreux essais. Les essais individuels peuvent produire des résultats très différents.

Pour une distribution exponentielle (qui régit le temps entre blocs) :

Temps médian = 0,693 × Temps moyen

C’est-à-dire que la moitié de tous les résultats d’un essai individuel prendra moins que 69,3 % du temps moyen. L’autre moitié prendra plus longtemps. La distribution est asymétrique à droite — il existe une longue queue de résultats malchanceux qui tire la moyenne vers le haut.

Pour un seul Antminer S21+ sur BCH (moyenne ~133 jours) :

• ~50 % de chances de trouver un bloc au jour 92 (médiane)
• ~63 % de chances au jour 133 (moyenne)
• ~80 % de chances au jour 215
• ~90 % de chances au jour 306
• ~95 % de chances au jour 399
• ~99 % de chances au jour 612
• ~1 % de chances d’attendre encore après 612 jours

Relisez la dernière puce. Même avec une « moyenne de 133 jours », il y a 1 chance sur 100 de passer plus de 600 jours sans bloc. Ce n’est pas 1 sur un million — c’est 1 sur 100. Si 1 000 mineurs font tous tourner des S21+ identiques sur BCH pendant deux ans, statistiquement environ 10 d’entre eux passeront les deux années complètes sans trouver un seul bloc. Pas à cause de malchance ou de matériel défectueux — à cause des maths.

La distribution exponentielle, visualisée

La probabilité de trouver un bloc avant le temps t (fonction de répartition cumulative) est :

P(trouver avant le temps t) = 1 - e^(-t/μ)

où μ est le temps moyen. Pour une moyenne de 133 jours, la décomposition par percentiles :

Notez l’enseignement clé : même à 4× la moyenne (532 jours pour une moyenne de 133 jours), il reste 1,8 % de chance de zéro bloc. La distribution exponentielle a une queue droite épaisse. Les longues périodes sèches sont mathématiquement garanties pour une fraction de mineurs.

La variance et l’écart-type

Pour les processus de Poisson, la variance est égale à la moyenne. L’écart-type est √moyenne. Cela a des implications pratiques :

Sur une année (365 jours) de minage d’un seul S21+ sur BCH :

• Blocs attendus : 365 ÷ 133 = ~2,74 blocs
• Écart-type : √2,74 = 1,66 blocs
• Intervalle de confiance à ~68 % : 1,08 à 4,41 blocs
• Intervalle de confiance à ~95 % : 0 à 6,06 blocs
• Intervalle de confiance à ~99 % : 0 à 7,72 blocs

Ainsi, en une année typique, vous pourriez trouver 1, 2, 3, 4 ou 5 blocs — tous dans la plage statistique normale. Trouver 0 bloc (qui est dans la queue à 95 %) est inhabituel mais pas extrême. Trouver 7+ blocs est aussi inhabituel mais pas extrême. Le résultat réel sur une année peut aller de 0 à 7+ blocs tout en étant entièrement cohérent avec les maths.

Pour la flotte SoloFury (4× S21+, ~940 TH/s sur BCH), blocs attendus par an :

• Temps moyen par bloc : 133 ÷ 4 = ~33 jours
• Blocs attendus/an : 365 ÷ 33 = ~11 blocs
• Écart-type : √11 = 3,3 blocs
• Plage à ~95 % : 4,4 à 17,6 blocs/an

SoloFury a trouvé 3 blocs BCH dans les 19 premiers jours de fin avril / début mai 2026. C’est un taux annualisé de ~58 blocs/an — bien au-dessus des ~11 attendus. C’est une excursion de variance positive de ~13 écarts-types au-dessus de la moyenne sur cette fenêtre spécifique, ce qui est vraiment inhabituel mais possible. De façon équivalente : il y a probablement eu des fenêtres de 19 jours en 2025 où la même flotte a trouvé zéro bloc, et celles-là n’auraient pas été notables car elles ont l’air « normales ».

Le problème des clusters

Les processus de Poisson ont une propriété contre-intuitive : les événements ont tendance à se regrouper plutôt qu’à s’espacer uniformément. Si vous trouvez un bloc aujourd’hui, il n’y a pas d’extra « malchance » qui vient après — votre probabilité de trouver un autre bloc demain est exactement la même qu’avant. Sur de courtes fenêtres, cela mène à des séries de plusieurs blocs rapprochés, séparées par de longues périodes sèches.

Par exemple, les blocs SoloFury BCH #947633 (20 avril), #948592 (27 avril) et #950338 (9 mai) — trois blocs en 19 jours. Puis rien pendant un temps (schéma typique). Puis peut-être deux autres en une semaine. Puis rien pendant deux mois.

Le schéma n’est pas cassé — c’est exactement ce que Poisson prédit. La découverte de blocs est « sans mémoire » : le réseau ne se souvient pas que vous venez de trouver un bloc, ne vous punit pas d’avoir été chanceux, ne vous récompense pas d’avoir été patient. Chaque nouvelle tentative est un nouveau lancer de dés.

Le regroupement est ce qui rend le solo mining émotionnellement chaotique. Des mois de rien suivis de jackpots soudains, puis encore rien. Si vous cartographiez le timing réel des blocs, vous verrez des clusters et des lacunes en proportion à peu près égale. Les deux sont normaux.

Simulation Monte Carlo : 10 000 années simulées

Les chiffres sont abstraits. Lançons une simulation. Imaginez 10 000 solo mineurs identiques faisant tourner un S21+ sur BCH pendant 365 jours chacun (soit 10 000 années de minage simulées). À quoi ressemble la distribution des résultats annuels ?

Lisez ceci attentivement :

• ~6,5 % des mineurs mono-rig trouveront ZÉRO bloc en une année donnée. Pas parce qu’ils font quelque chose de mal. À cause de la variance.
• ~30 % trouveront plus que la moyenne (3+ blocs) — la chance jouant en leur faveur.
• ~3 % auront une « année jackpot » avec 7+ blocs — extrêmement chanceux, mais mathématiquement attendu pour une fraction.
• Le revenu total sur les 10 000 mineurs est en moyenne la valeur attendue (~2,74 blocs chacun), mais les expériences individuelles varient énormément.

Certains mineurs auront 3 bonnes années de suite et concluront « j’ai le don magique ». D’autres auront 2 années sans bloc de suite et concluront « le solo mining ne fonctionne pas ». Les deux lisent trop dans trop peu de données. Les maths disent : prolongez l’expérience, et les résultats individuels convergent vers la moyenne.

Le piège de l’erreur du joueur

De nombreux solo mineurs tombent dans une erreur de raisonnement classique : « Je n’ai pas trouvé de bloc depuis 200 jours, donc j’y suis « dû ». » C’est faux. Les processus de Poisson sont sans mémoire. La probabilité de trouver un bloc dans les 30 prochains jours, sachant que vous êtes resté 200 jours sans en trouver un, est exactement la même que la probabilité d’en trouver un dans vos 30 premiers jours.

Les maths : P(trouver dans les 30 prochains jours | 200 jours sans bloc) = P(trouver dans n’importe quelle fenêtre de 30 jours) = 1 - e^(-30/133) = 20,2 %

Les 200 jours de période sèche n’aident pas. Ils ne nuisent pas non plus. Ils ne comptent tout simplement pas. Les dés n’ont pas de mémoire.

L’inverse est aussi vrai : le fait d’avoir trouvé un bloc la semaine dernière ne signifie pas que vous êtes « moins susceptible » d’en trouver un cette semaine. Votre probabilité est inchangée. Les séries de chance ne sont pas punies. Les séries de malchance ne sont pas compensées. Chaque nouvelle tentative est indépendante.

Les mineurs qui intériorisent cela sont ceux qui maintiennent un fonctionnement régulier sur de longues périodes. Ceux qui ne le font pas deviennent émotifs, changent de stratégie pendant les mauvaises passes, abandonnent exactement au mauvais moment, et ratent le jackpot quand il arrive finalement.

Le scaling de la variance : plus de rigs signifie moins de variance relative

C’est là que les maths deviennent pratiquement utiles : la variance varie selon la racine carrée de la moyenne, mais le revenu attendu varie linéairement avec la moyenne.

Donc si vous doublez votre hashrate :

• Blocs attendus par an : 2× (deux fois plus)
• Écart-type des blocs : √2 ≈ 1,41× (seulement 41 % de plus d’étalement)
• Coefficient de variation (écart-type / moyenne) : baisse de 1/√2 ≈ 29 %

Autrement dit, les flottes plus grandes connaissent proportionnellement moins de variance. Les grandes fermes ne sont pas chanceuses — elles sont mathématiquement lissées par leur échelle.

Pour un seul rig, les revenus d’une année à l’autre peuvent osciller de 60 %+. Pour une ferme de 100 rigs, les oscillations sont typiquement inférieures à 6 %. C’est pourquoi le minage industriel est une activité à plus faible variance que le solo mining — pas parce que les maths changent, mais parce que l’échelle lisse le bruit.

Variance vs jeu de hasard : la différence structurelle

Les gens assimilent souvent le solo mining au jeu de hasard parce que les deux impliquent de la probabilité, les deux ont des scénarios à valeur attendue négative à petite échelle, et les deux ont des gagnants et des perdants. Mathématiquement, ils diffèrent sur des points importants :

Jeu de hasard (ex. Powerball, casino)

• Avantage de la maison : les maths sont structurées pour favoriser l’opérateur sur le long terme
• Valeur attendue négative par conception — les joueurs perdent en moyenne
• Tentatives indépendantes mais probabilités truquées — vos hachages individuels n’ont pas d’importance, juste si votre ticket spécifique correspond

Solo mining

• Aucun avantage de la maison : le protocole émet des récompenses de bloc basées sur un travail cryptographique ; personne ne prend un pourcentage (sauf votre frais de pool de 1 %, qui est opérationnel et non structurel)
• Valeur attendue positive ou proche de zéro selon le matériel et les coûts d’électricité — avec la structure de frais à 1 % de SoloFury, la valeur attendue est essentiellement « votre capacité matérielle moins vos coûts »
• Tentatives indépendantes, probabilités équitables — vos hachages contribuent à la tentative cumulative du réseau, votre part est proportionnelle à votre hashrate

La variance est réelle. L’iniquité structurelle ne l’est pas. Le solo mining est un travail honnête à haute variance. Le jeu de hasard est un travail malhonnête à faible variance. Les maths sont similaires ; les structures ne pourraient pas être plus différentes.

Tables de percentiles réelles

Pour les mineurs envisageant le solo mining, voici les percentiles pour différentes configurations matérielles :

Bitaxe Gamma seul (1,2 TH/s) sur BC2 (moyenne ~1,7 jour)

En résumé : à 1,2 TH/s sur BC2, vous trouverez presque certainement au moins un bloc dans les 5 jours. ~5 % de chances d’attendre plus longtemps. ~0,3 % de chances de dépasser 10 jours. En pratique, c’est une expérience de minage « active » et stimulante.

Antminer S21+ seul (235 TH/s) sur BCH (moyenne ~133 jours)

En résumé : en 1 an d’exploitation, ~93,5 % de chances d’au moins un bloc. ~6,5 % de chances de zéro bloc. Les 6,5 % de mineurs ne font rien de mal ; ils sont simplement au mauvais bout de la distribution.

Bitaxe Gamma seul (1,2 TH/s) sur BTC (moyenne ~12 000 ans)

En résumé : mode loterie. La probabilité est non nulle mais infiniment petite sur n’importe quelle échelle de temps humaine. Certains opérateurs de Bitaxe ont quand même réussi, car la variance combinée à des milliers d’opérateurs mondialement produit des jackpots occasionnels. La probabilité cumulative sur tous les propriétaires de Bitaxe est significativement plus élevée que celle de n’importe quel individu.

Le cadre de préparation émotionnelle

Maintenant que les maths sont sur la table, voici comment se préparer émotionnellement au solo mining :

1. Accepter que la variance est la structure

N’attendez pas de blocs à la moyenne. Attendez-les en clusters séparés par des lacunes. Le schéma réel de découverte de blocs paraît chaotique ; les maths sous-jacentes sont déterministes. Intériorisez que « les longues périodes sèches » sont normales, pas un échec.

2. Fixer des horizons temporels qui correspondent aux maths

Si votre temps moyen est de 133 jours, ne prenez pas de décisions au jour 60. Ne changez pas de stratégie au jour 90. Ne quittez pas au jour 200. Planifiez au moins 2-3× le temps moyen avant d’évaluer les performances. Pour un seul S21+ sur BCH, c’est 9 à 12 mois minimum.

3. Suivre les résultats par rapport aux prédictions statistiques, pas aux attentes

Si après 200 jours de minage vous n’avez trouvé aucun bloc, vous êtes dans les 22 % de pires résultats — malchanceux mais pas extrême. Si après 200 jours vous en avez trouvé 3, vous êtes dans le top 5 % — chanceux. Les deux sont statistiquement normaux. Ne confondez pas « ce à quoi je m’attendais » avec « ce qui est normal ».

4. Diversifier entre horizons temporels et chaînes

Combinez des chaînes lentes (BCH à moyenne 133 jours par S21+) avec des chaînes rapides (BC2 à moyenne 2 jours par Bitaxe). Les chaînes rapides vous donnent un renforcement fréquent que les maths fonctionnent. Les chaînes lentes donnent les payouts plus importants. Ne mettez pas 100 % sur une seule chaîne — la variance se cumule dans les configurations mono-chaîne.

5. Considérer l’échelle

Si votre tolérance à la variance est faible, montez en échelle (plus de rigs réduit la variance relative). Si l’échelle n’est pas disponible, minez sur des chaînes plus petites où les maths vous donnent des blocs plus fréquemment. N’essayez pas d’absorber des expériences à haute variance avec une échelle insuffisante et de faibles marges.

6. Tenez bon pendant les périodes sèches

L’erreur la plus courante en solo mining est de quitter pendant une période sèche et de rater le jackpot qui arrive peu après. Les maths sont impitoyables à cet égard : le jackpot arrive finalement, mais vous avez peut-être déjà éteint votre rig. Minez plus longtemps que votre impatience le suggère.

7. Ne cherchez pas de causalité là où il n’y en a pas

« J’ai changé de pool et j’ai immédiatement trouvé un bloc » — c’est de la variance, pas de la causalité. Le pool que vous avez quitté était probablement sur le point d’en trouver un aussi. Les maths ne se soucient pas de vos décisions stratégiques ; elles se soucient des hachages cumulatifs contribués.

Les maths dans les décisions quotidiennes de solo mining

Comment ces probabilités affectent-elles les décisions réelles ?

« Devrais-je louer du hashrate pour une rafale d’un jour ? »

Calculez la probabilité quotidienne au niveau loué. Si 1 PH/s pendant 24 heures sur BCH vous donne ~3,2 % de probabilité de trouver un bloc, décidez si le coût de location de 50 à 100 $ vaut ce ticket de loterie. Valeur attendue : 3,2 % × 1 400 $ = 44,80 $. Si votre coût de location est 50 $, la VE est légèrement négative ; si 40 $, légèrement positive.

« Devrais-je passer de BCH à une chaîne plus petite ? »

Calculez les temps moyens sur les deux. Si votre S21+ a une moyenne de 133 jours sur BCH (récompense 1 400 $) et ~2 jours sur BCH2 (~10 $ de récompense), le revenu quotidien attendu est à peu près égal — mais la variance est radicalement différente. Choisissez en fonction de votre tolérance à la variance, pas de la valeur attendue, puisque les VE sont similaires.

« Devrais-je continuer à miner après une période sèche de 6 mois ? »

Regardez la fonction de répartition cumulative. Après 6 mois sur un rig de moyenne 133 jours, vous êtes au ~80ème percentile des mauvais résultats. La probabilité de trouver un bloc le mois suivant est exactement la même que lorsque vous avez commencé. Les dés n’ont pas de mémoire. Si vos raisons de miner étaient solides quand vous avez commencé, elles le sont encore maintenant.

« Devrais-je ajouter un deuxième rig avant que le premier trouve un bloc ? »

Oui, statistiquement. Le hashrate marginal vous donne plus de probabilité par unité de temps. Le raisonnement « attends que le premier en trouve un » est une erreur du joueur — le premier rig n’est pas « dû ».

La variance des revenus de frais (une distribution séparée)

La subvention de bloc est fixe par bloc — 3,125 BTC, 3,125 BCH, 1,81M XEC, etc. Les frais de transaction varient selon les blocs, parfois de façon marquée. Cela ajoute une deuxième couche de variance :

• La plupart des blocs BCH ont des frais de ~0,001-0,005 BCH (~0,50-2,50 $)
• Certains blocs BCH lors de forte activité peuvent avoir 0,1-0,5 BCH de frais (45-225 $)
• Les blocs BTC lors d’événements Runes / Ordinals ont inclus 5-10 BTC de frais vs 3,125 BTC de subvention

Si vous trouvez un bloc pendant une période de frais élevés, votre récompense pourrait être 1,5 à 3× la subvention de base. Si pendant une période de faibles frais, des frais quasi nuls. La variance des frais se compose avec la variance de découverte de blocs. Heureusement, les frais représentent généralement une petite fraction (4-5 %) de la récompense totale, donc la variance du second ordre est dominée par la variance du premier ordre de découverte de blocs pour presque tous les mineurs.

L’argument ergodique

Pour les lecteurs mathématiquement enclins : le solo mining est un processus ergodique — la moyenne temporelle des résultats d’un seul mineur converge vers la moyenne d’ensemble sur tous les mineurs, étant donné un temps suffisant. En pratique, cela signifie : si vous minez assez longtemps (des décennies), votre revenu moyen par an se rapproche de la valeur attendue à long terme. La variance domine les résultats à court terme mais disparaît sur le long terme.

Le piège : « assez longtemps » peut être plus long que la patience humaine. Pour un mineur individuel avec un rig de moyenne 133 jours, l’horizon temporel pour que la variance « se dissolve » à quelques pour cent d’intervalle de confiance est d’environ 10 à 30 ans. Pour une flotte de 100 rigs, c’est 1 à 3 ans. L’échelle raccourcit considérablement le temps de convergence.

Le solo mining à petite échelle est fondamentalement un investissement à long horizon dans la limite ergodique. Si vous pouvez attendre assez longtemps, les maths livrent. Si vous ne pouvez pas, vous verrez la variance, pas la valeur attendue.

Le coefficient de variation, par configuration

Un indicateur de synthèse utile : le coefficient de variation (CV) mesure l’« étalement » du revenu annuel par rapport à la moyenne. CV plus bas = plus prévisible. CV plus élevé = plus proche d’une loterie.

C’est le guide pratique pour choisir votre configuration de minage selon la tolérance à la variance.

Ce que les maths ne vous disent pas

Le modèle de Poisson est mathématiquement correct mais suppose :

• Hashrate réseau stable — en réalité, le hashrate fluctue de 5-15 % sur toute période de quelques mois, affectant légèrement votre part relative
• Difficulté stable — la difficulté s’ajuste environ toutes les 2 semaines ; cela change légèrement votre probabilité par tentative
• Disponibilité à 100 % — chaque minute hors ligne est un ticket de loterie raté
• Aucune corrélation entre les blocs — en fait vrai pour SHA-256, par conception
• Prix BTC/BCH/XEC stables — pour les projections de revenu ; n’affecte pas la probabilité de découverte de blocs

Aucun de ces points ne casse les maths de façon significative. Ils ajoutent du bruit, mais la structure de Poisson sous-jacente reste l’histoire dominante. Les maths du premier ordre sont justes. Les corrections du second ordre sont réelles mais petites.

La conclusion

Le solo mining n’est pas un jeu de hasard. C’est un processus probabiliste honnête à haute variance, régi par des mathématiques bien comprises. La distribution de Poisson décrit la découverte de blocs. La distribution exponentielle décrit le temps entre blocs. L’écart-type varie selon la racine carrée de la moyenne. La valeur attendue varie linéairement. Tout ce qui semble émotionnellement chaotique dans le solo mining est mathématiquement déterministe vu à la bonne échelle.

Les mineurs qui intériorisent ces maths survivent aux longues périodes sèches sans panique, reconnaissent les périodes chanceuses sans excès de confiance, et capturent finalement la valeur attendue que les maths promettent. Ceux qui ne les intériorisent pas sur-réagissent aux résultats à court terme, changent de stratégie exactement aux mauvais moments, et sortent du système avant que la variance ait le temps de se lisser.

Les maths sont de votre côté. Les maths sont patientes. Les maths ne récompensent pas votre patience et ne punissent pas votre impatience — elles sont ce qu’elles sont. Les mineurs qui apprennent à les lire correctement sont ceux qui continuent à miner quand les autres abandonnent, et qui collectent les jackpots quand ils arrivent finalement.

Le hibou sait que le champ ne récompense pas l’impatience. Chaque nuit est un nouveau lancer. Certaines nuits livrent. La plupart non. Le hibou qui chasse dix mille nuits mange. Celui qui chasse dix se décourage. Choisissez votre compte de nuits. Les maths s’occupent du reste.